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一、从代数的角度研究音乐 在整个西方文明的艺术谱系中，音乐是最发达、最奇妙、最具有形而上学色彩的一种形式。一方面，音乐艺术通过声音高低、长短、快慢的有机组合，直接诉诸人们的听觉器官，从而调动人们的情绪、激发人们的情感，是一种极为感性的文化形态；另一方面，在这些高低、长短、快慢的声音背后，又隐藏着极为复杂的数量关系，并引发人们形而上的思考。① 生活在公元前6世纪的毕达哥拉斯既是一位古希腊的数学家，也是一位哲学家。他曾说过一句名言：“数学的本原就是万物的本原。”②然而，毕达哥拉斯不仅是哲学家和数学家，而且还是一位音乐家。他之所以将“数学的本原”看成是“万物的本原”，最初就与音乐有着极为密切的关系。 毕达哥拉斯学派发现了两个事实：一是一根拉紧的弦发出的声音取决于弦的长度；二是要使弦发出和谐的声音，就要使每根弦的长度成整数比。这样，他们就可以使音乐简化成简单的数量关系。③ 事实上，增加一倍的长度我们就得减慢一倍的速度；而减掉一倍半的长度，我们就得增加一倍的速度。每一个长度似乎都有一个自然的节奏与之对应。这就是毕达哥拉斯定律。④ 正是从“毕达哥拉斯定律”出发，西方人开始了对音乐的数字化思考与形而上探究。这种研究是从记谱方式入手的。从古希腊开始，西方人就尝试运用字母和符号记录音乐的节奏。大约在8世纪前后，西方人发明了用一种特殊符号来表示音高的“纽姆记谱法”(Neuma)。这种纽姆符号虽然能够帮助演唱者记忆、了解各种曲调的进行特征，但它不能表示音的长短，也没有固定的高低位置，于是后人便划出一根直线，将纽姆符号写在线的上下，用位置来确定音高，这便有了“一线谱”。到了11世纪，人们为了把声音的相对高度记录得更加准确，于是便把纽姆符号放在四根线上，形成了“四线乐谱”。17世纪，“四线谱”又被改进为“五线谱”，成为当今世界上公用的音乐记谱法。比“五线谱”更晚，西方的“数字简谱”萌生于16世纪，当时的天主教修道士苏埃蒂开始用1、2、3、4、5、6、7代表七个音来谱写歌曲。到了18世纪，法国哲学家卢梭写了一篇题为《音乐新符号建议书》，向当时的科学院推荐了这种“数字简谱”，从而使之获得了世人的重视。受其影响，一些音乐家、数学家对“数字简谱”进行整理，并经19世纪的加兰、帕里斯和谢韦三人的完善与推广，才在群众中得到广泛使用。⑤ 不难看出，无论是“五线谱”还是“数字简谱”，其目的都是为了对声音进行数量化的记录和描述。如果没有这一前提，复杂的音乐作品既不能创作，也难以演出。从这一意义上讲，正如数学是所有科学中最为抽象的科学一样，音乐是所有艺术中最为抽象的艺术，它们都可以被简单的符号体系加以表述。所以，德国哲学家莱布尼茨指出：“音乐就它的基础来说，是数学的；就它的出现来说，是直觉的。”⑥而西方人所要做的，就是在音乐的直觉背后，发现数学的基础及其“演算”规律。于是，此后的西方音乐不仅和算数、几何、天文一起成为教会必修的四门功课，而且被13世纪著有《神学大全》的天主教神学家托马斯·阿奎那送上了“七大文艺之冠”的宝座。在那个时代里，音乐既是艺术，又是数学，还是宗教，因为音乐家要根据数学的原理创造出符合宗教精神的艺术。 《牛津英文辞典》将“古典音乐”表述为intraditional and serious style，这其中既有“传统”(traditional)的内涵又有“严肃”(serious)的意味。在英语中，serious除了“严肃”之外，还有“启发思考”的意思。作为德国古典音乐的代表人物，巴赫是一个虔诚的宗教徒。在他看来，音乐本身就是天堂的奇迹，是人们通向天国、与上帝对话的云梯。在这种对话式的音乐语言背后，则充满了复杂的数理逻辑。我们知道，《平均律钢琴曲集》(48首前奏曲与赋格)是巴赫键盘音乐中最伟大的作品之一。所谓“十二平均律”，是指将八度的音程(二倍频程)按频率等比例地分成十二等份，每一等份称为一个半音即小二度，一个大二度则是两等份。巴赫所奠定的“十二平均律”有着特殊的数学意义：它的纯五度音程的两个音的频率比(即2的7/12次方)与1.5非常接近，它的纯四度和大三度两个音的频率比分别与4/3和5/4比较接近。这意味着，“十二平均律”的几个主要的和弦音符中的基音和泛音的频率成整数倍序列，因而都是和谐的。这样一来，毕达哥拉斯关于“基音”与“泛音”之间成比例的“音倍”关系可以产生乐音的思想，便在巴赫的键盘上得到了淋漓尽致的表现。 音乐不是数学，我们不能指望将一组数学公式能够直接转变成五线谱；音乐不是哲学，我们也不能指望将一个哲学命题直接转变为交响乐。然而，一方面，“数学和音乐拥有一些共同的技艺、共同的形式、一样的思维方式。贝多芬对单个主题的探索需要抽象和并列的方法；巴赫在他的《序曲》中在大音程结构中创造了小音程细节的回声。一个数学家面对同样抽象的形式会提出同样的问题，可能也会作出同样的回答。这里存在着类似，因为数学和音乐具有抽象探索方案的特征，在探索中由类推和变奏来引导”⑦；另一方面，哲学与音乐也拥有一些共同的世界观、共同的生活态度、共同的信仰模式。格里高利圣咏对教会音乐的改造与奥古斯丁《忏悔录》中的宗教禁欲主义情绪是一致的，海顿的奏鸣曲式与黑格尔《逻辑学》中的哲学思辨方法也是一致的。不仅如此，音乐与哲学的一致性，往往又要通过数学来加以实现。正像一位西方学者所指出的那样： 我们必须开始找出数学是怎样工作的。我们必须寻找它的音乐灵魂，数学风格的变化，相似与形式的游戏，在抽象思想中创造的联系和判断。我们要跟随一个数学的主题在一些应用中寻找它演进的足迹和线索。只有到那时，我们才能回到音乐，在它最深层结构是如何工作的，它抽象的观点是如何推进的问题中看到相似。我们必须追求音乐真正的数学精神，它相似和转变的严格的建立，它的不妥协地投入我们的智力。只有到那时，我们开始提出的问题才可以回答(如果我们不是完全回答的话)：神圣的形象是怎样出现的，美是如何在科学和艺术中出现的，一个既神秘又具体的力量是如何从美中生长出来的。⑧ (责任编辑：admin) |